解答 10 2 x 3 。 解析 x x 3 x 不等式1 ≤ | x－1 | ≤ 4之解為

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：107.09.28 範

圍 數與數線(B) 班級 一年____班 姓 座號 名

一、填充題(每題10分)

1. 不等式 | 2x－1 |＋| x＋3 | ≤ 7之解為 . 解答 －3 ≤ x ≤

3 5 解析 (1)當x ≥

2

1時：2x－1＋x＋3 ≤ 7  3x ≤ 5  x ≤ 3 5, ∴

2 1≤ x ≤

3 5 (2)當－3＜x＜

2

1時：1－2x＋x＋3 ≤ 7 －x ≤ 3  x ≥－3, ∴－3＜x＜

2 1 (3)當x ≤－3時：1－2x－x－3 ≤ 7 －3x ≤ 9  x ≥－3, ∴ x＝－3 由(1)(2)(3)知,－3 ≤ x ≤

3 5.

2. 設a, b為實數, 若| ax＋2 |  b的解為－3  x  5, 則數對( a, b )＝ .

解答 (－2, 8 )

解析 －3  x  5  | x－1 |  4, 同乘 |－2 |,

|－2 | | x－1 |  |－2 |  4  |－2x＋2 |  8, 得a＝－2, b＝8.

3. 設數線上有二點A(－3), B(7), 點P在線段AB上, 且AP BP: = 5：2, 則P點坐標為 .

解答 29 7

解析 利用分點公式得( 3) 2 (7) 5 29

7 7

     , 故P點坐標為²⁹ 7 .

4. 不等式︱－3x+8︱2的解為 .

解答 10

2 x 3 。

解析 10

2 3 8 2 10 3 6 2

x x 3 x

             

5. 不等式1 ≤ | x－1 | ≤ 4之解為 . 解答 －3 ≤ x ≤ 0或2 ≤ x ≤ 5

解析 | x－1 |＝x與1之距離

∴ 1 ≤ | x－1 | ≤ 4之解為－3 ≤ x ≤ 0或2 ≤ x ≤ 5.

6. 滿足 | 2x－1 | ≤ 10且 | x－1 | ≥ 2

3的整數x有 個.) 解答 7

解析 (1) | 2x－1 | ≤ 10 －10 ≤ 2x－1 ≤ 10 －9 ≤ 2x ≤ 11 －

2 9≤ x ≤

2 11 (2) | x－1 | ≥

2

3 x－1 ≥ 2

3或x－1 ≤－

2

3 x ≥ 2

5或x ≤－

2 1

∴ 其解為x＝－4,－3,－2,－1, 3, 4, 5, 共7個.

7. 解絕對值方程式|| x1|3|2, 得x=

解答 －6, －2, 0或4 。

解析 ||x       1| 3 | 2 |x 1| 3 2,

|x+1|=5或1x+1=±5或±1x=4,－6,0或－2.

8. 解不等式| 2x－3 | > | x + 4 |： .

解答 1

7 3

x 或x  。 解析 方法一：

(1)當x ≥³

2時, (2x－3) > (x + 4)x > 7, (2)當－4 ≤ x <³

2時, (－2x + 3) > (x + 4) ¹

x 3, 得－4 ≤ x ≤ ¹

3, (3)當x <－4時, (－2x + 3) > (－x－4)x < 7, 得x <－4,

由(1)(2)(3)合併可得x < ¹

3或x > 7.

方法二：平方之

2 2 2 3

(2 3) ( 4) 3 20 7 0, (2 3)( 7) 0 , 7

x  x  x  x  x x    x 2 x

9. 設坐標平面上有三點A(x, y), B(5, 0), C(12, 0), 且P點在BC上, 已知ᇞABP的面積 =⁴

7ᇞABC的 面積, 則P點坐標為 .

解答 (9, 0) 。

解析 因為ᇞABP與ᇞABC同高, 故BP PC: = 4：3, 則P：^{4 12 3 5 63} 9

4 3 7

  

 

 , 故P點坐標為(9, 0).

10. 設 | mx－3 |＜2為x的不等式, 若2為此不等式的一個解, 試求實數m的範圍為 . 解答 1

2＜m＜

2 5

解析 因2為不等式之一解, 代入成立

所以 | 2m－3 |＜2 －2＜2m－3＜2 1＜2m＜5 ¹

2＜m＜

2 5. 11. 若方程式│x－3│+│x－9│=k有解, 則k的條件為 .

解答 k6 。

解析 │x－3│+│x－9│=│3－x│+│x－9││3－x+x－9│=6, 即│x－3│+│x－9│的最小值為6,

∴方程式│x－3│+│x－9│=k欲有解的條件為k ≥ 6 12. 不等式 | x－3 |＋| x＋1 | ≥ 8之解為 .

解答 x ≥ 5或x ≤－3 解析 （法1）

(1)當x ≤－1時： －( x－3)－( x＋1) ≥ 8 －x＋3－x－1 ≥ 8 －2x ≥ 6  x ≤－3,

∴ x ≤－3

(2)當－1＜x ≤ 3時：－( x－3 )＋( x＋1 ) ≥ 8  4 ≥ 8不合

(3)當x＞3時：x－3＋x＋1 ≥ 8  x ≥ 5, ∴ x ≥ 5

由(1)(2)(3)知, x ≤－3或x ≥ 5.

（法2）

| x－3 |＋| x＋1 |＝| x－3 |＋| x－(－1) | , 又 | 3－(－1) |＝4,

∴ 所求為x ≥ 5或x ≤－3.

13. 在數線上, 設兩點A(A), P(x), 則PA |x a|. 可利用此性質求：

(1) | x + 2 | + | x－3 | 的最小值為 . (2)解方程式| x + 2 | + | x－3 | = 7： .

(3)若方程式| x + 2 | + | x－3 | = k有實數解, 則實數k的範圍為 .

解答 (1) 5 、(2) x =－3或4 、 (3)k ≥ 5 】。

解析 (1)討論

(a)P(x)在B(3)之右邊, 則| x－3 | + | x + 2 | > 5.

(b)P(x)在A(－2)和B(3)之間（含A, B兩點）, 則| x + 2 | + | x－3 | = 5.

(c)P(x)在A(－2)之左邊, 則| x－3 | + | x + 2 | > 5.

由(a)(b)(c)知| x－3 | + | x + 2 | ≥ 5, 故| x－3 | + | x + 2 |的最小值為5.

(2)由第(1)小題知| x + 2 | + | x－3 | = 7 > 5, 則P(x)在A(－2)之左邊或P(x)在B(3)之右邊,

(a)P(x)在A(－2)之左邊,

| x + 2 | + | x－3 | = 7

| x + 2 | + | x + 2 | + 5 = 7

2 | x + 2 | = 2| x + 2 | = 1,又x <－2, 則x =－3.

(b)P(x)在B(3)之右邊,

| x + 2 | + | x－3 | = 7

| x－3 | + 5 + | x－3 | = 7

2 | x－3 | = 2| x－3 | = 1,又x > 3, 則x = 4,

由(a)(b)知x =－3或4.

(3)由第(1)小題知| x + 2 | + | x－3 |的最小值為5, 又| x + 2 | + | x－3 | = k有解,則k ≥ 5.

14. A, B, P為數線上相異三點, 若A, B的坐標分別為4, －11且AP：BP=2：3, 則點P坐標為 . 解答 －2或34 。

解析 (a)P在AB上.

2 ( 11) 3 4 10

5 5 2

       .

(b)P在A之右 AB：AP=1：2

設P(x), 則^{2 ( 11) 1} 4 22 12 34 1 2

x x x

   

      

 .

15. 設x為實數, 則

(1) x²2x 1 x²6x9的最小值為 . (2) x²2x 1 x²6x9= 6, 則x = .

解答 (1) 4 (2)－4或2 。

解析 (1) x²2x 1 x² 6x 9 (x1)²  (x3)² | x－1 | + | x + 3 |,

在數線上表示x到1的距離與x到－3的距離和, 故最小值為1到－3的距離為4.

(2)由(1)知| x－1 | + | x + 3 | = 6 > 4 (a)x在1的右邊,

| x－1 | + | x + 3 | = 6 | x－1 | + | x－1 | + 4 = 6 2 | x－1 | = 2| x－1 | = 1, 又x > 1, 則x = 2.

(b)x在－3的左邊,

| x－1 | + | x + 3 | = 6 | x + 3 | + 4 + | x + 3 | = 6 2 | x + 3 | = 2| x + 3 | = 1, 又x <－3, 則x =－4.

由(a)(b)知x =－4或2.

16. 不等式 | 3x－1 |＋| 2x－5 | ≥ 8之解為 . 解答 x ≤－

5 2或x ≥

5 14 解析 (1)當x ≥

2

5時：3x－1＋2x－5 ≥ 8  5x ≥ 14  x ≥ 5

14, ∴ x ≥ 5 14 (2)當3

1＜x＜

2

5時：3x－1－2x＋5 ≥ 8  x ≥ 4不合

(3)當x ≤ 3

1時：1－3x－2x＋5 ≥ 8  5x ≤－2  x ≤－

5

2, ∴ x ≤－

5 2 由(1)(2)(3)知, x ≤－

5 2或x ≥

5 14.

17. 滿足3 2 x 3 6的整數x共有 個.

解答 2 。

解析 3 2 x 3 6或 6 2x  3 3

 6 2x9或 3 2x0 3 ⁹ x 2

  或 ³ 0 2 x

   , ∵x為整數∴x=4或－1 故共有2個.

18. 農夫老羅欲製造一矩形，使其長是(2x+5)公尺,寬是8公尺.使它的面積不大於72平方公尺,試求x的範圍 為__________________.

解答 2

2 5  

 x

解析 依題意得 2 5 0 (1)

(2 5) 8 72 (2)

x x ì + >

ïïíï + ´ £ ïî



 由(1)得 5

2 (3) x> - 

由(2)得2x592x4,x2(4) 由(3)(4)得 2

2 5  

 x 為所求.

19. 設a, b為實數且ab, 試比較下列各數的大小：_______________________________

7 6ab

, 7

3 4a b

, 7

5 2a b

, 7

6b a

.

解答 7

6 7

5 2 7

3 4 7

6ab  a b  a b a b 解析 設A(a), B(b), P(

7

6ab), Q(

7 3 4a b), R(

7 5 2a b), S(

7 6b a ), 由分點公式知P, Q, R, S在數線上的排列順序如下

故 7

6 7

5 2 7

3 4 7

6a b a b a b a b

 

 

 

.